Question

【题目】在四棱锥中， 与相交于点，点在线段上，，且平面．

（1）求实数的值；

（2）若，, 求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：解法一：（1）由平行线的性质可得，结合线面平行的性质定理有．据此可得．

(2) 由题意可知为等边三角形，则，结合勾股定理可知且，由线面垂直的判断定理有平面 ，进一步有平面平面．作于，则平面． 即为到平面的距离．结合比例关系计算可得到平面的距离为．

解法二：（1）同解法一．

（2）由题意可得为等边三角形，所以，结合勾股定理可得且，则平面 ．设点到平面的距离为，利用体积关系：， 即．求解三角形的面积然后解方程可得到平面的距离为．

详解：解法一：（1）因为,所以即．

因为平面，平面，

平面平面，

所以．

所以，即．

(2) 因为，所以为等边三角形，所以，

又因为，，所以且，

所以且，又因为，所以

因为平面，所以平面平面．

作于，因为平面平面，所以平面．

又因为平面，所以即为到平面的距离．

在△中，设边上的高为，则，

因为，所以，即到平面的距离为．

解法二、（1）同解法一．

（2）因为，所以为等边三角形，所以，

又因为，，所以且，

所以且，又因为，所以平面 ．

设点到平面的距离为，由得，

所以，

即．

因为，，，

所以，解得，即到平面的距离为．