Question

如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设，则m+n的取值范围是　　．

Answer 1

考点：

向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．

专题：

平面向量及应用．

分析：

建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用m，n表示，代入圆内方程求出范围．

解答：

解：以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，2），C（2，2），B（6，0）

直线BD的方程为x+3y﹣6=0，C到BD的距离d==

∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x﹣2）²+（y﹣2）²=，

设P（x，y）则 =（x，y），=（0，2），=（6，0）

∴（x，y）=（6n，2m）

∴x=6n，y=2m，

∵P在圆内或圆上

∴（6n﹣1）²+（2m﹣1）²≤，

解得1≤m+n≤．

故答案为：[1，]．

点评：

通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式．