Question

如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

3

．点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠AMN=θ．
（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
（2）在△AMN中，若

AN

sin∠AMN

=

MA

sin∠ANM

，求线段A'N长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）设MA=MA'=x，则MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N长度的最小值，即求线段AN长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．

解答：解：（1）设MA=MA'=x，则MB=1-x．
在Rt△MBA'中，cos(180°-2θ)=

1-x

x

，
∴MA=x=

1

1-cos2θ

=

1

2sin2θ

．
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A'点和B点不重合，
∴45°＜θ＜90°．
（2）∵∠B=90°，AB=1，BC=

3

，
∴∠MAN=60°，在△AMN中∠ANM=120°-θ，

AN

sinθ

=

MA

sin(120°-θ)

，
AN=

sinθ• 1 2sin2θ

sin(120°-θ)

=

1

2sinθsin(120°-θ)

．
令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(

1

2

sinθ+

3

2

cosθ)
=sin2θ+

3

sinθcosθ
=

1

2

+

3

2

sin2θ-

1

2

cos2θ=

1

2

+sin(2θ-30°)．
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°．
当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值

3

2

，
∴θ=60°时，A'N有最小值

2

3

．

点评：本题主要考查在实际问题中建立三角函数模型，从而利用三角函数中研究最值的方法解决最值问题，应注意角的范围的确定是关键．