Question

在研究复数性质时规定:如果对n个复数a₁,a₂,…,a_n,存在不全为零的n个实数k₁,k₂,…,kn,使得k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n=0成立,那么a₁,a₂,…,a_n叫做“线性相关”,依此规定,请判断三个复数1,-i,2+2i是否“线性相关”,并证明你的结论;若“线性相关”,请给出一组实数.

Answer 1

分析：本题考查两个复数相等的充要条件.它是一个探索性问题,解题的思路可从假设结论成立入手.

解：假设存在实数k₁,k₂,k₃使得复数1,-i,2+2i“线性相关”,        

则k₁-k₂i+k₃(2+2i)=0,即(k₁+2k₃)+(2k₃-k₂)i=0.         

由复数相等的充要条件,有

不妨取k₃=t,则k₁=-2t,k₂=2t.                     

显然三个复数“线性相关”;存在实数组(-2t,2t,t).