Question

（本题满分12分）设S_n为数列{a_n}的前ｎ项的和，且S_n = (a_n －1)(n∈N*)， 数列

{b_n }的通项公式b_n = 4n+5.

    ①求证：数列{a_n }是等比数列；

    ②若d∈{a₁ ，a₂ ，a₃ ，……}∩{b₁ ，b₂  ，b₃ ，……}，则称d为数列{a_n }和{b_n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d_n }，求数列{d_n }的通项公式.

Answer 1

分析：①利用公式a_n=S_n－S_n－1代入得出a_n与a_n－1之间的关系.②令a_k=b_m ，再找出k，m之间的联系.

解：①当n=1时，由a₁=S₁=，得出a₁=3.当n≥2时，…………6分

②由a_n=3ⁿ，得：

                                  

因此d_n=9×9^n—1、=9ⁿ.           ……………………………………………………12分

评注：本题中的①，由S_n和S_n—1作两式相减，这是处理类似的关系式的重要的方法，特别是对于a_n+1=pa_n+q（p，q为常数）也是有效的.②的解法提供了一种求公共项的方法，若两个数列都是等差数列，则它们的公共项也为等差数列，公差为它们的最小公倍数.若都为等比数列，请读者思考公共项是否仍为等比数列