Question

已知集合A=[2，log₂t]，集合B={x|x²-8x+12≤0}，x，t∈R，且A⊆B．
（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b-a，若A的区间“长度”为1，试求t的值．
（2）某个函数f（x）的值域是B，且f（x）∈A的概率不小于

1

2

，试确定t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据log₂t-2=1，可得log₂t=3，即可得到答案．
（2）根据集合B={x|x²-8x+12≤0}可求出集合B的取值范围，即可得到函数f（x）的值域，又因为f（x）∈A的概率不小于

1

2

，可求得区间A的长度，进而得到有关t的值．

解答：解：（1）∵A的区间“长度”为1，
∴log₂t-2=1，即log₂t=3，
∴t=8．
（2）由x²-8x+12≤0，得2≤x≤6
B=[2，6]，
∴B的区间长度为4．设A的区间“长度”为x，因f（x）∈A的概率不小于

1

2

，
∴

x

4

≥

1

2

，
∴x≥2，即log₂t-2≥2，解得t≥2⁴=16．
又A⊆B，
∴log₂t≤6，即t≤2⁶=64，
所以t的取值范围为[16，64]．

点评：本题主要考查对数的运算问题．这里还涉及到概率的有关问题，是一个小综合题．