Question

如图所示，n台机器人M₁，M₂，……，M_n位于一条直线上，检测台M在线段M₁ M_n上，n台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测，送检程序设定：当M_i把零件送达M处时，M_i+1即刻自动出发送检（i=1,2,……,n-1）已知M_i的送检速度为V(V>0), 且记，n台机器人送检时间总和为f(x).
 
(1)求f(x)的表达式；
(2)当n=3时，求x的值使得f(x)取得最小值；
(3)求f(x)取得最小值时，x的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)= ；（2）x=1；（3）n为偶数时x∈[,]；n为奇数时．

试题分析：（1）先求出n台机器人送检的路程总和，再除以送检速度v即为n台机器人送检时间总和f(x)；而且，则，从而可得f(x)的表达式；（2）当n=3时，f(x)是一个含有绝对值符号的函数，只须采用零点分段讨论法，去掉绝对值符号，转化为一个分段函数，结合函数图就可求得使f(x)取得最小值对应的x的值；（3）由(1)知f(x)是一个含有多个绝对值符号的函数,再由(2)的经验,须去掉绝对值符号,所以我们只须设i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ),就可去掉所有的绝对值符号,从而转化为一个一次函数,其单调性由x系数的正负来确定，讨论x系数的正负，并结合n的奇偶性就可求出f(x)取得最小值时，x的取值范围．
试题解析：（1）以M₁为坐标原点，M₁，M₂ ，M_n所在直线为x轴建立数轴，则M_i的坐标为i-1，M的坐标为x．
f(x)=     3分
（2）n=3时,V f(x)=
 f(x)在x=1处取得最小值
（3）当i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ)时，

=x+(x-1)+  +(x-i)-(x-(i+1))-  -(x-(n-1))
="[(" i+1)x-(1+2+  + i)]-[n-( i+1)·x-( i+1+ i+2+  +(n-1) ]
="-[n-2" (i+1) ]·x-
当0≤i<时，f(x)单调递减：当时，f(x)单调递增
当, f(x)为常函数，又f(x)图象是一条连续不断的图象，所以
①n为偶数时，f(x)在（0，）内单调递减，在()为常函数，在（，n-1）单调递增，所以当x∈[,]时f(x)取得最小值．
②n为奇数时，在内单调递减，（表示的整数部分），在   内单调递增，所以当时取得最小值    （13分）