Question

【题目】如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．动点P在圆 上，过P作y轴的垂线，垂足为N，点M在射线NP上，满足．

（1）求点M的轨迹G的方程；

（2）过点的直线l交轨迹G 于A，B两点，交圆O于C，D两点．若，求直线l的方程；

（3）设点Q(3, t)(t∈R，t ≠ 0)，且，过点P且垂直于OQ的直线m与OQ交于点E，与x轴交于点F，求△OEF周长最大时的直线m的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，；（3）或

【解析】

（1）设，，利用动点转移可得轨迹的方程．

（2）直线的斜率不存在时满足，当直线的斜率存在时，可设，分别联立直线方程与椭圆方程和圆的方程，利用结合韦达定理计算后可得直线方程．

（3）设，由及点在圆上可以得到，从而，因此为直角三角形，故当为等腰直角三角形时周长最大，此时，故可求得直线的方程．

（1）设，，，由得，即．

∵在圆上，∴，∴为轨迹的方程．

（2）①直线的斜率不存在时，直线，由椭圆，圆的对称性，有， ∴合题意．

②直线的斜率存在时，

设直线，，

由，∴即．

由得，∴，

由得，

∴，由，∴，

∴或，∴直线，．

综上，直线的方程为：，，．

（3）设动点，由得．

又∵，∴， ①

直线与垂直，直线的斜率为，

直线的方程为，∴ ② ，

由①②得：，∴直线与轴交点为．

又∵，∴是以2为斜边的直角三角形， ∴时，周长最大，即是等腰直角三角形，，点坐标为或，

∴直线的方程是或．