Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）c_n=，求c_n的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S_n=2-a_n①
当n=1时，S₁=2-a₁，∴a₁=1．
取n=n+1得：S_n+1=2-a_n+1②
②-①得：S_n+1-S_n=a_n-a_n+1
即a_n+1=a_n-a_n+1，故有2a_n+1=a_n（n=1，2，3，…），
∵a₁=1≠0，∴a_n≠0，∴（n∈N^*）．
所以，数列{a_n}为首项a₁=1，公比为的等比数列．
则a_n=（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n，∴，
则，
，
，
…
．
将以上n-1个等式累加得：

=
=．
∴=．
（Ⅲ）由．
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n．
得：③
④
③-④得：
=
=．
∴．
分析：（Ⅰ）在题目给出的递推式中取n=1求出a₁，取n=n+1得到第二个递推式，两式作差后整理即可说明给出的数列是等比数列，则通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a_n代入递推式b_n+1=b_n+a_n，然后利用累加法可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的b_n代入c_n=，整理后利用错位相减法求c_n的前n项和T_n．
点评：本题考查了由递推式求数列的通项公式，考查了累加法，训练了错位相减法求数列的前n项和，涉及一个等差数列和一个等比数列的积数列，错位相减是求其前n项和重要的方法．此题是中档题．