Question

【题目】已知函数， .

（1）若时，求函数的最小值；

（2）若，证明：函数有且只有一个零点；

（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）最小值；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）当时， ，求出函数的导数，得到极值点，然后判断函数的单调性，求解函数的最小值；

（2）由，得，当时，函数在上最多有一个零点，当时， ， ，即可得到结论；

（3）由（2）知，当时， 在上最多有一个零点，当，函数，得，令，利用的取值，得到函数在上单调递减；在上单调递增，要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即，进而求解实数的取值范围．

试题解析：

（1）当时， ，

所以 .

令，得，当时， ；

当时， ，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时， 有最小值.

（2）由，得 ，

所以当时， ，

函数在上单调递减，所以当时， 在上最多有一个零点.

因为当时， ， ，

所以当时，函数在上有零点.

综上，当时，函数有且只有一个零点.

（3）由（2）知，当时， 在上最多有一个零点.

因为有两个零点，所以.

由，得.

令，

因为， ，所以在上只有一个零点，

设这个零点为，

当时， ， ；

当时， ， ；

所以函数在上单调递减；在上单调递增.

要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即.

因为，

所以

，

可得，

又因为在上是增函数，且，

所以， ，

由，得 ，

所以，即.

以下验证当时，函数有两个零点.

当时， ， ，

所以.

因为 ，且，

所以函数在上有一个零点.

又因为 （因）.

且，所以在上有一个零点.

所以当时，函数在内有两个零点.

综上，实数的取值范围是.