Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形,.

（1）求证：平面；

（2）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角的大小为.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先由（1）得两两垂直，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的大小，即可求出结果.

（1）因为侧面底面，，

所以底面，所以；

又底面是直角梯形,，

所以，

因此，所以；

又，且平面，平面，

所以平面；

（2）由（1）可得两两垂直，

因此以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系；

则，，，，

则，，，

由（1）可知平面；所以为平面的一个法向量；

又因为，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，即，

所以，

又二面角的大小为，

所以，化简整理得，

解得，

因为为侧棱上一点，所以，

因此.