Question

求函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值，并求此时x的值．

Answer 1

分析：把二次函数解析式，即可得到函数的对称轴为直线x=1，分三种情况考虑：
①当a＜1时，函数在[0，a]上单调递减，进而得到函数的最大值，及此时x的取值；
②当1≤a≤2时，函数在[0，1]上单调递减，函数在[1，a]上单调递增，进而得到函数的最大值，及此时x的取值；
③当a＞2时，函数在[0，1]上单调递减，函数在[1，a]上单调递增，进而得到函数的最大值，及此时x的取值；
综上，函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值及此时x的值．

解答：解：因为函数y=x²-2x+3的图象开口向上，对称轴为x=1．
①当a＜1时，函数在[0，a]上单调递减，
则函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值为3，此时x=0；
②当1≤a≤2时，函数在[0，1]上单调递减，函数在[1，a]上单调递增，
则函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值为3，此时x=0；
③当a＞2时，函数在[0，1]上单调递减，函数在[1，a]上单调递增，
则函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值为a²-2a+3，此时x=a．
综上，当a＜1时，函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值为3，此时x=0；
当1≤a≤2时，函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值为3，此时x=0；
当a＞2时，函数y=x²-2x+3在区间[0，a]上的最大值为a²-2a+3，此时x=a．

点评：此题考查了二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．