Question

已知函数f(x)=

2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

，函数g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

[

1

2

，

4

3

]

．

Answer 1

分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x₁）=g（x₂）成立，推断出[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．

解答：解：当x∈（

1

2

，1]时，f(x)=

2x3

x+1

是增函数，y∈（

1

6

，1]，
当x∈[0，

1

2

]时，f（x）=-

1

3

x+

1

6

是减函数，
∴y∈[0，

1

6

]，如图．
∴函数f(x)=

2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

的值域为[0，1]．
g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)值域是[2-2a，2-

3a

2

]，
∵存在x₁、x₂∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-

3a

2

]=∅，则2-2a＞1或2-

3a

2

＜0，即a＜

1

2

或a＞

4

3

，
∴a的取值范围是[

1

2

，

4

3

]．
故答案为：[

1

2

，

4

3

]．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．