Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4，－).

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3,m)在此双曲线上，求·；

(3)求△F₁MF₂的面积.

Answer 1

解:(1)由题意知，双曲线的方程是标准方程.

∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,

∴设双曲线方程为x²－y²=λ.

把点(4，－)代入双曲线方程得

4²－(－)²=λ,λ=6.

∴所求双曲线方程为x²－y²=6.

(2)由(1)知双曲线方程为x²－y²=6.

∴双曲线的焦点为F₁(－2，0)、F₂(2，0).

∵M点在双曲线上,

∴3²－m²=6,m²=3.

∴·=(－2－3,－m)·(2－3,－m)=(－3)²－(2)²+m²=－3+3=0.

(3)∵·=0，∴MF₁⊥MF₂.

∴△F₁MF₂为直角三角形.

∵||=

=，

||=

=,

∴S=||·||

=·

=6.

点评:本例(1)的解法中利用了“如果双曲线的渐近线为y=±x时，那么双曲线的方程可设为=λ(λ≠0)”这一结论.