Question

已知函数f（x）=2sinωx•cos（ωx+

π

6

）+

1

2

（ω＞0）的最小正周期为4π（1）求正实数ω的值；（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA=acosC+ccosA，求f（A）的值．

Answer 1

分析：（1）首先用两个角的和的正弦公式写出展开后的结果，和2sinωx相乘，利用二倍角公式降幂，最后利用辅角公式写出结果y=sin（2ωx+

π

6

），根据周期求出ω的值．
（2）由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得角的三角函数值之间的关系，根据三角形内角和进行角的代换，根据函数值和角的范围写出解答值，代入函数求出结果．

解答：解：（1）∵f（x）=2sinωx（cosωx•cos

π

6

-sinωx•sin

π

6

）+

1

2

=

3

sinωxcosωx-sin²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

（1-cos2ωx）+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）．
又f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=4π，则ω=

1

4

．
（2）由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）．
又A+B+C=π，则2sinBcosA=sinB．
而sinB≠0，则cosA=

1

2

．又A∈（0，π），故A=

π

3

．
由（1）f（x）=sin（

x

2

+

π

6

），从而f（A）=sin（

π

3

×

1

2

+

π

6

）=sin

π

3

=

3

2

．

点评：本题考查三角函数的恒等变形和性质，解题的关键是把三角函数进行正确的变形，得到可以用来求解函数的性质的形式，这是常见的一种高考卷中的题型．