Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心I，且有

IG

=λ

F1F2

（其中λ为实数）
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F₁MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意设出重心G的坐标，由向量关系求出点I的坐标，由面积的两种表示求出a与c的关系式，进而得到椭圆的斜率．
（2）设出椭圆与直线的方程并且联立方程得到关于y的一元二次方程，以F₁F₂为底边写出三角形的面积表达式，利用函数求最值的方法求出面积的最大值，并且求出此时m的数值，即得到椭圆的方程．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），c=

a2-b2

，则有：G(

x0

3

，

y0

3

)，I的纵坐标为

y0

3

，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F1F2|•|y0|=

1

2

(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|

y0

3

|
?2c•3=2a+2c?a=2c?e=

c

a

=

1

2

（2）由（1）可设椭圆C的方程为：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1(c＞0)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线MN的方程为：x=my+c，代入

x2

4c2

+

y2

3c2

=1
可得：3（my+c）²+4y²=12c²?（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0
∴y1+y2=-

6mc

4+3m2

，y1y2=-

9c2

4+3m2

∴S△F1MN=

1

2

•|F1F2|•|y1-y2|=c

(- 6mc 4+3m2 )2-4(- 9c2 4+3m2 )

=12c2

m2+1 (4+3m2)2

令m²+1=t，则有t≥1且m²=t-1，
∴

m2+1

(4+3m2)2

=g(t)=

t

[4+3(t-1)]2

=

t

9t2+6t+1

=

1

9t+ 1 t +6

，
易证g（t）在[1，+∞）单调递减，
∴g（t）_max=g（1）=

1

16

，
∴S△F1MN的最大值为12c2•

1

4

=3?c2=1?

x2

4

+

y2

3

=1．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关数值的关系以及结合椭圆的形状和几何意义两行表达三角形的面积，最终利用函数的形状解决问题．