题目内容
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC．
分析：通过即空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积得关系即可证明
⊥
，
⊥
，进而得到OB1⊥平面PAC．
| OB1 |
| AC |
| OB1 |
| AP |
解答：证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2．
则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），O（1，1，0），B1（2，2，2）．
∴
=(1，1，2)，
=(-2，2，0)，
=(-2，0，1)．
∵
•
=-2+2+0=0，
•
=-2+0+2=0，
∴
⊥
，
⊥
，
∴OB1⊥AC，OB1⊥AP，
又AP∩AC=A，∴OB1⊥平面PAC．
不妨设正方体的棱长为2．则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），O（1，1，0），B1（2，2，2）．
∴
| OB1 |
| AC |
| AP |
∵
| OB1 |
| AC |
| OB1 |
| AP |
∴
| OB1 |
| AC |
| OB1 |
| AP |
∴OB1⊥AC，OB1⊥AP，
又AP∩AC=A，∴OB1⊥平面PAC．
点评：熟练掌握通过即空间直角坐标系、利用向量垂直与数量积得关系、线面垂直的判定定理等是解题的关键．
练习册系列答案
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