Question

已知数列{a_n}满足S_n=

n

2

an(n∈N*)，S_n是{a_n}的前n项的和，a₂=1．
（1）求S_n；（2）证明：

3

2

≤(1+

1

2an+1

)n＜2.

Answer 1

分析：（1）易得递推关系，从而求通项与和
（2）通常与二项式定理有关，需用放缩法求和，而放缩法主要是放缩成特殊的等比类型．

解答：解：（1）由题意S_n=

n

2

an得Sn+1=

n+1

2

an+1，
两式相减得2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n即（n-1）a_n+1=na_n，
所以（n+1）a_n+1=n_an+2再相加得2na_n+1=na_n+na_n+2即2a_n+1=a_n+a_n+2
所以数列{a_n}是等差数列（4分）
∵a₁=

1

2

a 1∴a₁=0，
又a₂=1，则公差为1，∴a_n=n-1，
所以数列{a_n}的前n项的和为S_n=

n

2

an=

n(n-1)

2

，（6分）
（2）（1+

1

2an+1

)n=(1+

1

2n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2n

)++

C

r n

(

1

2n

)r+

C

n n

(

1

2n

)n（8分）
①当n=1时：（1+

1

2an+1

)n=

3

2

=(1+

1

2a2

)1=

3

2

，

3

2

≤

3

2

＜2，不等式成立．（7分）
②当n≥2时：一方面
∵(1+

1

2n

)n =

C

0 n

 +

C

1 n

1

2n

+

C

r n

(  

1

2n

)r+…＞1+n•

1

2n

=

3

2

（9分）
另一方面：

C

r n

(

1

2n

)r=

1

r!•2r

•

n(n-1)…(n-r+1)

nr

＜

1

r!•2r

 ＜

1

2r

∴（1+

1

2n

)n＜1+

1

2

+

1

4

+＜1+

1

2

+

1

22

+… +

1

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

  =2[1-(

1

2

)n] ＜2，
综合两方面∴

3

2

＜(1+

1

2an+1

)n＜2.
于是对于正整数n，都有

3

2

≤(1+

1

2an+1

)n＜2.（12分）

点评：通过本题，学生要掌握常用的放缩技巧和结论．放缩的目的是便于求和，放缩后的数列一般是等差或等比，另外就是放缩的“度”