Question

若函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值及相应的x的值．

Answer 1

y=lg（3-4x+x²），
∴3-4x+x²＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2^x+2-3×4^x=4×2^x-3×（2^x）²．
令2^x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t-3t²=-3t²+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f（t）∈（-4，

4

3

]，
当t＞8时，f（x）∈（-∞，-160），
当2^x=t=

2

3

，即x=log₂

2

3

时，f（x）_max=

4

3

．
综上可知：当x=log₂

2

3

时，f（x）取到最大值为

4

3

，无最小值．