Question

如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1．

(1)在BC边上是否存在点Q，使PQ⊥QD，说明理由；

(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的大小；

(3)在(2)的条件下，求平面PQD与平面PAB所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)若使PQ⊥DQ，又PQ在平面ABCD的射影为AQ，即使DQ⊥AQ．故当以AD为直径的圆与BC相交，即a>2时，在BC边存在两点Q，使PQ⊥Q D．当以AD为直径的圆与BC相切，即a=2时，在BC边存在一点Q，使PQ⊥Q D．当以AD为直径的圆与BC相离，即0<a<2时，在BC边不存在点Q，使PQ⊥QD； (2)由(1)知此时a=2，易得DQ⊥平面PAQ． ∴平面PAQ⊥平面PDQ． 过A作AF⊥PQ于F，连DF． 则AF⊥平面PDQ，∠ADF为AD与平面PDQ所成角， 在Rt△PAQ中， PA=1，，， ∴． 在Rt△AFD中， ． ∴AD与平面PDQ所成角为； (3)易知△PDQ在平面PAB内的射影为△PAB，设平面PDQ与平面PAB所成的二面角为Q， 则． ∴所求二面角为．