Question

对于函数f（x）=

x

1+|x|

，下列结论正确的是

 

．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②?m∈（0，1）使得方程|f（x）|=m有两个不等的实数解；
③?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
④?x₁，x₂，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）

Answer 1

分析：根据题意，依次分析命题：将-x代替x求出f（-x），判断出 ①对；通过分离参数，判断出f（x）在[0，+∞）上的单调性及值域判断出②对；通过另g（x）=0，分离出k，求出k的范围，判断出③错；通过对①②的推导过程得到f（x）在R上单调，判断出④对，即可得答案．

解答：解：对于①，f(-x)=

-x

1+|x|

∴f（-x）+f（x）=0，故①对；
②，∵函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的在R上单调递增，且值域为（-1，1）
∴函数y=|f（x）|在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，且值域为[0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有两个不等实数根，故（2）正确；
对于③，令g（x）=0即f（x）-kx=0即k=

1

1+|x|

≤1，所以当k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上无零点，故③错．
对于④，由①知f（x）是奇函数，由②的推导知，f（x）在R上单调递增，所以?x₁，x₂，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）
故④对．
故答案为：①②④

点评：本题考查判断函数零点的个数常转化为求函数的值域、对于含绝对值的函数的处理方法常利用绝对值的意义去掉绝对值转化为分段函数处理．