题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，且对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项．
（1）求a2，a3的值；
（2）求证数列{an+2n}是等比数列；
（3）求{
}的前n项和．
（1）求a2，a3的值；
（2）求证数列{an+2n}是等比数列；
（3）求{
| an | 3n |
分析：（1）由对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项，可得an+1+a1=2(Sn+2n)，分别令n=1，2即可得出a2，a3；
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
两式相减得an+1=3an+2n，可化为an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，可得数列{an+2n}是以a1+21=3为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
可得
=
=1-(
)n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
两式相减得an+1=3an+2n，可化为an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，可得数列{an+2n}是以a1+21=3为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
可得
| an |
| 3n |
| 3n-2n |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
解答：解：（1）∵对于任意n∈N*，Sn+2n是an+1与a1的等差中项，
∴an+1+a1=2(Sn+2n)，
当n=1时，可得a2+a1=2(a1+21)，又a1=1，解得a2=5，
当n=2时，可得a3+a1=2(a1+a2+22)，解得a3=19．
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
两式相减得an+1=3an+2n，
∴an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，
∴数列{an+2n}是以a1+21=3为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
∴
=
=1-(
)n，
∴{
}的前n项和=(1+1+…+1)-(
+(
)2+…+(
)n)=n-2(1-(
)n)=n-2+2•(
)n．
∴an+1+a1=2(Sn+2n)，
当n=1时，可得a2+a1=2(a1+21)，又a1=1，解得a2=5，
当n=2时，可得a3+a1=2(a1+a2+22)，解得a3=19．
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
两式相减得an+1=3an+2n，
∴an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，
∴数列{an+2n}是以a1+21=3为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
∴
| an |
| 3n |
| 3n-2n |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
∴{
| an |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：熟练掌握等差数列、等比数列及其前n项和公式、以及可化为等比数列的数列的解法等是解题的关键．
练习册系列答案
备战中考寒假系列答案
相关题目