Question

已知函数f（x）=lnx-ax．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）=0在[1，e²]上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）求导，当导数f'（x）大于0时可求单调增区间，当导数f'（x）小于0时可求单调减区间．
（2）f（x）=0在[1，e²]上有解即a=

lnx

x

在x∈[1，e²]上有解，转化为求函数a=

lnx

x

在[1，e²]上的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞）f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）
当a＞0时，令f′(x)＞0，x＜

1

a

令f′(x)＜0，x＞

1

a

故f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)，单调递减区间为(

1

a

，+∞)
（Ⅱ）lnx-ax=0在x∈[1，e²]上有解
故a=

lnx

x

在x∈[1，e²]上有解
令g(x)=

lnx

x

(1≤x≤e2)g′(x)=

1-lnx

x2

令g′（x）=0得x=eg(1)=0，g(e)=

1

e

，g(e2)=

2

e2

∴0≤g(x)≤

1

e

∴0≤a≤

1

e

点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数增减区间的问题．