Question

如图，P是棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁对角线AC₁上一动点，若平面PBD⊥平面ABCD，则三棱锥P-ABD的体积为

16

3

．

Answer 1

分析：利用正方体的性质、线面平行、垂直的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答：解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．
由正方体可得：CC₁∥平面BDD₁B₁，∴CC₁∥OP，
∵AO=OC，∴AP=PC₁且OP=

1

2

CC1=2．
∵CC₁⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即OP是三棱锥P-ABD的高．
∵S△ABD=

1

2

×4×4=8．
∴V_P-ABD=

1

3

S△ABD×OP=

1

3

×8×2=

16

3

．
故答案为

16

3

．

点评：本题综合考查了正方体的性质、线面平行、垂直的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，熟练掌握它们是解题的基础．