题目内容

(2012•四川)如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,该交线上的一点P满足∠BOP=60°,则A、P两点间的球面距离为(  )
分析:由题意求出AP的距离,然后求出∠AOP,即可求解A、P两点间的球面距离.
解答:解:半径为R的半球O的底面圆O在平面α内,过点O作平面α的垂线交半球面于点A,过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B,所以CD⊥平面AOB,
因为∠BOP=60°,所以△OPB为正三角形,P到BO的距离为PE=
3
2
R
,E为BQ的中点,AE=
R2+(
R
2
)
2
-2AO•OEcos45°
=
5-2
2
4
R

AP=
(
3
2
R)
2
+(
5-2
2
4
R)
2
=
8-2
2
2
R

AP2=OP2+OA2-2OP•OAcos∠AOP,
8-2
2
4
R2=R2+R2-2R2cos∠AOP

cos∠AOP=
2
4
,∠AOP=arccos
2
4

A、P两点间的球面距离为Rarccos
2
4

故选A.
点评:本题考查反三角函数的运用,球面距离及相关计算,考查计算能力以及空间想象能力.
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