Question

（本题满分12分）
在直角坐标系中，动点到两圆的圆心和的距离的和等于.
(Ⅰ) 求动点的轨迹方程；
(Ⅱ) 以动点的轨迹与轴正半轴的交点C为直角顶点作此轨迹的内接等腰直角三角形ABC,试问:这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)两圆的圆心坐标分别为、，根据椭圆的定义可知，动点的轨迹为以、为焦点，长轴长等于的椭圆.
由得,所以，动点的轨迹方程
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C点的坐标为
不妨设A、B两点分居于y轴的左、右两侧,设CA的斜率为,
则>0,CA所在直线的方程为.
代入椭圆方程并整理得.
∴或.∴A点的坐标为.
∴.   同理,.
由|CA|=|CB|得,
∴解得或或
∴符合题意的等腰直角三角形一定存在,且有3个.

略