Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；

（2）若f（x）有两个极值点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求得函数的导数，，按、、三种情况分类讨论，得出函数的单调性，进而得出函数的极值；

（2）由（1）知，当时，极值点，是方程的两根，化简得，设，，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

（1）由题意，函数，

得，，

（i）若时；，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以当，函数取得极小值，是的一个极小值点；

（ii）若时，则，即时，此时，在是减函数，无极值点，

当时，则，令，解得，，

当和时，，当时，，

∴在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点，

综上可知：（i）时，仅有一个极值点；(ii).当时，无极值点；

(iii)当，有两个极值点.

（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，

且，是方程的两根，∴,，

则

，

设，，则，

∴时，是减函数，，

∴，

∴.