题目内容
设两个数列{an},{bn}满足bn=
，若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.
，若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.证明见解析
证明 由题意有
a1+2a2+3a3+…+nan=
bn， ①
从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=
bn-1(n≥2), ②
由①-②，得nan=bn-bn-1,
整理得an=
,
其中d为{bn}的公差(n≥2).
从而an+1-an=
-
=
=
(n≥2).
又a1=b1，a2=
∴a2-a1=-b1=
=
.
综上，an+1-an=
d（n∈N*）.
所以{an}是等差数列.
a1+2a2+3a3+…+nan=
bn， ①从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=
bn-1(n≥2), ②由①-②，得nan=
bn-bn-1,整理得an=
,其中d为{bn}的公差(n≥2).
从而an+1-an=
-=
=(n≥2).又a1=b1，a2=
∴a2-a1=
-b1==.综上，an+1-an=
d（n∈N*）.所以{an}是等差数列.
练习册系列答案
相关题目
,判断该数列是否为等差数列.
是各项均为正数的等比数列，
是等比数列吗？为什么？
，求Sn.
中，
，且数列
是等差数列，则
=___________．