题目内容

设F1、F2是双曲线x2-
y2
4
=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)  •
F2P
=0（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为（　　）
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3
分析：设点P（
1+
m2
4
，m），由 (
OP
+
OF2
)  •
F2P
=0解出 m，根据双曲线的第二定义得e=
5
=
|PF2|
1+
m2
4
-
1
5
，求出|PF2|的值，再利用第一定义求出|PF1|的值，即得λ值．
解答：解：由题意得   a=1，b=2，∴c=
5
，F1（-
5
，0），F2 （
5
，0），e=
5
．
设点P（
1+
m2
4
，m），∵(
OP
+
OF2
)  •
F2P
=（
1+
m2
4
+
5
，m）•（
1+
m2
4
-
5
，m）
=1+
m2
4
-5+m2=0，m2=
16
5
，m=±
4
5
5
．
由双曲线的第二定义得 e=
5
=
|PF2|
1+
m2
4
-
1
5
，∴|PF2|=2，
∴|PF1|=2a+|PF2|=4，∴λ=
|PF1|
|PF2|
=
4
2
=2，
故选A．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．
练习册系列答案
相关题目
设F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），则双曲线的离心率为（　　）
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2
（2010•宝山区模拟）双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一点(2，
3
)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
设F1、F2是双曲线x2-
y224
=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
24
24
．
（2013•许昌三模）设F1，F2是双曲线
x2
3
-y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
PF1
•
PF2
的值为（　　）
设F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点），且tan∠PF2F1=2，则双曲线的离心率为（　　）

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