Question

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间是：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]．将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）求图中x的值；   
（2）从“体育迷”中随机抽取2人，该2人中日均收看该类体育节目时间在区间[50，60]内的人数记为X，求X的数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）利用频率之和为1，建立方程，可得图中x的值；
（2）确定X的取值，求出相应的概率，可得分布列，从而可求数学期望．

解答：解：（1）由题设可知（0.005+x+0.012+0.02+0.025+0.028）×10=1，…（1分）
解之得x=0.01．…（2分）
（2）由题设可知收看该类体育节目时间在区间[50，60]内的人数为0.005×10×100=5人，…（3分）
“体育迷”的人数为（0.01+0.005）×10×100=15，…（4分）
所以X的可能取值为0，1，2，…（5分）
p(X=0)=

C 0 5 C 2 10

C 2 15

=

3

7

，…（7分）
p(X=1)=

C 1 5 C 1 10

C 2 15

=

10

21

…（9分）
p(X=2)=

C 2 5 C 0 10

C 2 15

=

2

21

…（11分）
∴X的分布列为

X	0	1	2
P	3 7	10 21	2 21

∴X的数学期望E(X)=0×

3

7

+1×

10

21

+2×

2

21

=

2

3

．…（12分）

点评：本小题主要考查排列、组合的运算，频率分布，超几何分布，数学期望等知识，考查或然与必然，以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识．