题目内容

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，AH为BC边上的高，以下结论：
①
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
②
BC
•(
AC
-
AB
)=b2+c2-2bccosA；
③
AH
•(
AB
+
BC
)=
AH
•
AB
；
④
AH
•
AC
=
AH
2．
其中正确的是
①②③④
①②③④
．（写出所有你认为正确的结论的序号）
分析：画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误
解答：解：
AC
•
AH
|
AH
|
=|
|
AC
||
AH
|cos＜
AC
，
AH
＞
|AH
|
=|
AC
|cos＜
AC
，
AH
＞=|
AH
|
而csinB=|
AH
|故①正确
BC
• (
AC
-
AB
)=
BC
2=a2
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA
故有
BC
• (
AC
-
AB
)=  b2+c2-2bccosA故②正确
AH
•(
AB
+
BC
)=
AH
•
AC

∵
AH
•
AC
-
AH
 •
AB
=
AH
•(
AC
-
AB
)=
AH
•
BC
=0
∴
AH
•
AC
=
AH
•
AB
故③正确
AH
•
AC
=
AH
•(
AH
+
BH
)=
AH
2故④正确

故答案为：①②③④．
点评：本题考查了三角形和平面向量的相关性质，本题解题的关键是灵活应用数量积的公式和数量积的运算律，一定要引起大家足够的重视．
练习册系列答案
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已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：①
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
②
AB
•
BC
＜0⇒△ABC为钝角三角形；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=a2，其中正确的个数是（　　）
已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足b+c=
3
a，设
m
=[cos（
π
2
+A），-1]，
n
=（cosA-
5
4
，-sinA），
m
∥
n
，试求角B的大小．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）证明：
a+b
2a+b
＞
c
a+c
；
（2）证明：不论x取何值总有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；
（3）若a＞c≥2，证明：
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
＜
1
6
．
已知△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c且角A，B、C成等差数列，△ABC的面积S=
b2-(a-c)2k
，则实数k的值为
 
．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=
2
，向量
m
=(-1，1)，
n
=(cosBcosC，sinBsinC-
2
2
)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）当sinB+cos(
7π
12
-C)取得最大值时，求角B的大小和△ABC的面积．

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