题目内容
已知函数f(x)=lnx-x，h(x)=
．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
| lnx | x |
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间，从而可求h（x）的最大值；
（2）xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数a的取值范围．
（2）xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数a的取值范围．
解答：解：（1）因为h(x)=
，(x＞0)，所以h′(x)=
，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），
所以当x=e时，h（x）取得最大值
；…（6分）
（2）因为xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即a≤lnx+x+
对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
设?(x)=lnx+x+
，因为?′(x)=
=
，
故?（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，?（x）min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3． …（10分）
| lnx |
| x |
| 1-lnx |
| x2 |
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），
所以当x=e时，h（x）取得最大值
| 1 |
| e |
（2）因为xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即a≤lnx+x+
| 12 |
| x |
设?(x)=lnx+x+
| 12 |
| x |
| x2+x-12 |
| x2 |
| (x-3)(x+4) |
| x2 |
故?（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，?（x）min=?（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3． …（10分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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