题目内容
已知函数f(x)=
x3-x2-3x+
,直线l:9x+2y+c=0.(1)求证:直线l与函数y=f(x)的图象不相切;
(2)若当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线l的下方,求c的范围.
(1)证法一:f′(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4. ?
根据导数的几何意义知,函数y=f(x)的图象上任意一点处切线的斜率均不小于-4. ?
而直线l:9x+2y+c=0的斜率为-＜-4,?
所以直线l与函数y=f(x)的图象不相切. ?
证法二:f′(x)=x2-2x-3. ?
假设直线l:9x+2y+c=0与函数y=f(x)的图象相切,?
则x2-2x-3=-有实数解,即x2-2x+
=0有实数解. ?
因为Δ=-2＜0,方程x2-2x+
=0无实数解,?
所以直线l与函数y=f(x)的图象不相切. ?
(2)解:当x∈［-2,2］时,函数y=f(x)的图象在直线l的下方,即
x3-x2-3x+
-(-
x-
)＜0对一切x∈［-2,2］都成立, 9分?
即c＜-
x3+2x2-3x-
对一切x∈［-2,2］都成立.
令g(x)=-
x3+2x2-3x-
.?
因为g′(x)=-2x2-4x-3=-2(x-1)2-1＜0,?
所以g(x)在［-2,2］上单调递减. ?
所以当x∈［-2,2］时,［g(x)］Min=g(2)=-
×23+2×22-3×2-
=-6. ?
所以c＜-6,所以c的范围是(-∞,-6).
