Question

设数列｛a_n｝满足a_n＋1=a_n²－na_n＋1，n=1，2，3，…，

（Ⅰ）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式；

（Ⅱ）当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有

（ⅰ）a_n≥n＋2；

（ⅱ）．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：由a1=2，得a2=a12－a1＋1=3， 由a2=3，得a3=a22－2a2＋1=4， 由a3=4，得a4=a32－3a3＋1=5． 由此猜想an的一个通项公式：an=n＋1（n≥1）． （Ⅱ）证明：（ⅰ）用数学归纳法证明： ①当n=1，a1≥3=1＋2，不等式成立. ②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k＋2，那么， ak＋1=ak（ak－k）＋1≥（k＋2）（k＋2－k）＋1≥k＋3， 也就是说，当n=k＋1时ak＋1≥（k＋1）＋2． 根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋2． （ⅱ）由an＋1=an（an－n）＋1及（ⅰ），对k≥2，有 ai=ak－1（ak－1－k＋1）＋1≥ak－1（k－1＋2－k＋1）＋1=2ak－1＋1， …… ∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1=2k－1（a1＋1）－1． 于是，k≥2．