Question

设{an}是等差数列，d为公差，并且d≠0，它的前n项和为Sn．设集合M＝｛(an，)｜n∈N*｝，N＝｛(x，y)｜x2－y2＝1，x、y∈R｝．下列结论是否正确?如果正确，请给予证明；如果不正确，请举一个反例说明． (1) 以集合M中的元素为坐标的点都在同一条直线上 (2) M∩N中至多有一个元素 (3) 当a1≠0时，一定有M∩N≠Φ

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：正确．证明如下： 　　∵Sn＝(a1＋an)，∴． 　　这说明适合方程y＝(a1＋x)， 　　因此，n∈N*，以为坐标的点在直线y＝(x＋a1)上． 　　分析：根据题目要求，先判断，后论证．
(2)	正确;设(x，y)∈M∩N，据(1)知，(x，y) 是方程组的解，①代入②并化简得，2a1x＋＝－4 ③．当a1＝0时③无解，从而方程组无解；当a1≠0时，③的解x＝④，从而方程组恰有一解，而且还需使x恰为｛an｝某一项，故M∩N中至多有一个元素． 　　点评：判断时容易出错，另外反例的构造需要一定的技巧．
(3)	不正确;例如取a1＝1．d＝1，我们来说明此时M∩N≠，用反证法，假设此时M∩N≠，则存在m∈N*使∈M∩N，从(2)中的④式知道am＝＝＝－，又有am＝a1＋(m－1)d＝1＋(m－1)·1－m，于是m＝，与m∈N*矛盾，因此当a1＝d＝1时M∩N≠． 　　点评：判断时容易出错，另外反例的构造需要一定的技巧．