Question

如图，AB为圆柱OO₁的母线，BD为圆柱OO₁下底面直径，AB=BD=2，点C为下底面圆周⊙O上的一点，CD=1．
（1）求三棱锥C-ABD的体积；
（2）求面BAD与面CAD所成二面角的大小；
（3）求BC与AD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）求三棱锥C-ABD的体积，转化为求A-BCD的体积，求出底面面积，和高即可求解．
（2）求面BAD与面CAD所成二面角的大小，先作出二面角的平面角，过B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F，证明∠BEF是面ABD与面ACD所成的二面角的平面角，然后求解即可．
（3）求BC与AD所成角的大小，过点D在下底面作DG∥BC交⊙O于点G，则∠GDA为BC与AD所成的角，通过解三角形解答即可．

解答：解：（1）∵AB为圆柱OO₁的母线，∴AB⊥下底面．
∴AB为棱锥A-BCD的高．而点C在⊙O上，
∴△BCD为直角三角形，∠BCD=90°．
∵BD=2，CD=1，∴BC=

3

．
∴V_{三棱锥C-ABD}=V_{三棱锥A-BCD}=

1

3

×

1

2

×1×

3

×2=

3

3

．

（2）过B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F，
连接EF．由BD为底面圆的直径，得BC⊥CD．
∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
∴AC⊥CD．
而AC∩BC=C，
∴CD⊥平面ABC．
而CD?平面ADC，
∴平面ABC⊥平面ADC，且它们的交线为AC．
∵BF?平面ABC，BF⊥AC，垂足为点F，
∴BF⊥平面ACD．
而BE⊥AD，AD?平面ACD，
∴EF⊥AD．平面ABD∩平面ACD=AD，
∴∠BEF是面ABD与面ACD所成的二面角的平面角．
由BE=

1

2

AD=

2

，AC=

7

，AB=2，可求出BF=

2 21

7

．
∴sin∠BEF=

BF

BE

=

2 21 7

2

=

42

7

．
∵∠BEF为锐角，∴∠BEF=arcsin

42

7

．
故所求二面角的大小为arcsin

42

7

．

（3）过点D在下底面作DG∥BC交⊙O于点G，
则∠GDA为BC与AD所成的角．连接BG、AG，
由BD是⊙O的直径，得GD⊥BG，则AG⊥DG，BC=GD．
∴cos∠GDA=

GD

AD

=

3

2 2

=

6

4

．
∴∠GDA=arccos

6

4

．
∴所求BC与AD所成的角的大小为arccos

6

4

．

点评：本题主要考查直线、平面的位置关系，考查圆柱的有关概念，
考查直线、平面所成角的概念及求法，考查空间想象能力和推理能力．