题目内容

已知点F₁、F₂为双曲线 $数学公式$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d，若|PF₁|、|PF₂|、d依次成等差数列，则此双曲线的离心率的取值范围是

A.
$数学公式$ ，+∞）
B.
（1， $数学公式$
C.
（1， $数学公式$
D.
[2， $数学公式$

C
分析：根据双曲线的定义，结合等差数列的含义，得到|PF₂|-|PF₁|=d-|PF₂|=-2a，再用圆锥曲线的统一定义，得到 $\text{[math]}$ ，因此d-|PF₂|=d（1-e）=-2a，得到d= $\text{[math]}$ ，最后根据双曲线右支上一点到右准线的距离的取值范围，得d≥a- $\text{[math]}$ ，建立关于a、c和e的不等式，解之即得此双曲线的离心率的取值范围．
解答：∵|PF₁|、|PF₂|、d依次成等差数列，
∴|PF₂|-|PF₁|=d-|PF₂|，
∵P为双曲线 $\text{[math]}$ 右支上一点，（a＞0，b＞0）
∴|PF₂|-|PF₁|=-2a=d-|PF₂|，
设双曲线的离心率是e，根据圆锥曲线的统一定义，
得到 $\text{[math]}$ ，所以d-|PF₂|=d（1-e）=-2a
∴根据双曲线右支上一点到右准线的距离的取值范围，得：d= $\text{[math]}$ ≥a- $\text{[math]}$ ，
上式的两边都除以a，得： $\text{[math]}$ ≥1- $\text{[math]}$ ，解此不等式得： $\text{[math]}$ ≤e≤ $\text{[math]}$
又∵双曲线的离心率e＞1，
∴e∈ $\text{[math]}$
故选C
点评：本题以等差数列为载体，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单性质和等差数列的概念等知识点，属于中档题．