Question

已知函数f（x）=ax²-4x-1．
（Ⅰ）若a=2时，求当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若a=2，当x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若a为非负数，且函数f（x）是区间[0，3]上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）在[0，1]上单调递减；在（1，3]上单调递增，由此求得f（x）的值域．
（Ⅱ）由于f（x）在[0，1]上单调递减，当x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，可得

1-m＞2m-1 0＜1-m＜1 0＜2m-1＜1

，由此求得m的取值范围．
（Ⅲ）①当a=0时，f（x）=-4x-1，满足条件．②当a＞0时，f（x）=a(x-

2

a

)2-

4

a

-1，因为f（x）在[0 3]上的单调函数，可得

2 a ≤0 ，或 2 a ≥3 a＞0

，由此解得a的取值范围．综合①②求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
所以f（x）在[0，1]上单调递减；在（1，3]上单调递增．…（2分）
所以f（x）的最小值是f（1）=-3．…（3分）
又因为f（0）=-1，f（3）=5，所以f（x）的值域是[-3，5]．          …（4分）
（Ⅱ）因为a=2，所以由（Ⅰ）可知：f（x）在[0，1]上单调递减．
因为当x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，可得

1-m＞2m-1 0＜1-m＜1 0＜2m-1＜1

，…（7分） 解得 

1

2

＜m＜

2

3

．
所以m的取值范围是（

1

2

，

2

3

）．       …（8分）
（Ⅲ）因为f（x）=ax²-4x-1，
①当a=0时，f（x）=-4x-1，所以f（x）在[0 3]上单调递减．…（10分）
②当a＞0时，f（x）=a(x-

2

a

)2-

4

a

-1，
因为f（x）在[0 3]上的单调函数，可得

2 a ≤0 ，或 2 a ≥3 a＞0

，解得 0＜a≤

2

3

．   …（13分）
由①、②可知，a的取值范围是[0

2

3

]．            …（14分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．