Question

已知集合A={x|y=

-x2-2x+3

}，B={a|?x∈[1，2]，x²-4ax+1≥0}，则A∩B=

{x|-3≤x≤

1

2

}

．

Answer 1

分析：集合A={x|y=

-x2-2x+3

}={x|-3≤x≤1}，由B={a|?x∈[1，2]，x²-4ax+1≥0}，设y=x²-4ax+1，它是开口向上，对称轴为x=2a的抛物线，当2a≥2时，y_min=f（2）=4-8a+1≥0，无解．当1≤2a＜2时，y_min=f（2a）=4a²-8a²+1≥0，a=

1

2

．当2a＜1时，a＜ 

1

2

．综上所述，a≤

1

2

．由此能求出A∩B．

解答：解：∵集合A={x|y=

-x2-2x+3

}
={x|-x²-2x+3≥0}
={x|x²+2x-3≤0}
={x|-3≤x≤1}，
∵B={a|?x∈[1，2]，x²-4ax+1≥0}，
∴设y=x²-4ax+1，它是开口向上，对称轴为x=2a的抛物线，
①当2a≥2时，y_min=f（2）=4-8a+1≥0，
解得a≤ 

5

8

，
∴无解．
②当1≤2a＜2时，y_min=f（2a）=4a²-8a²+1≥0，
解得-

1

2

≤a≤

1

2

，
∴a=

1

2

．
③当2a＜1时，
y_min=f（1）=1-4a+1≥0，
解得a≤ 

1

2

．
∴a＜ 

1

2

综上所述，a≤

1

2

．
∴B={a|a≤

1

2

}，
∴A∩B={x|-3≤x≤

1

2

}．
故答案为：{x|-3≤x≤

1

2

}．

点评：本题考查集合的交集及其运算，具有一定的难度．解题时要认真审题，合理转化，注意分类讨论思想的灵活运用．