Question

如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设

AP

=a

AB

+β

AF

（α、β∈R），则α+β的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：通过建立坐标系，写出点的坐标及直线方程，设动点P的坐标写出动点P的可行域；写出向量的坐标，据已知条件中的向量等式得到α，β与x，y的关系代入点P的可行域得α，β的可行域，利用线性规划求出α+β的取值范围

解答：解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0），
C(3，

3

)，D(2，2

3

)，E(0，2

3

)，F(-1，

3

)
则EC的方程：x+

3

y-6=0；CD的方程：

3

x+y-4

3

=0；
因P是△CDE内（包括边界）的动点，则可行域为

x+ 3 y-6≥0 3 ≤y≤2 3 3 x+y-4 3 ≤0

又

AP

=α

AB

+β

AF

，
则

AP

=(x，y)，

AB

=(2，0)，

AF

=(-1，

3

)，
所以(x，y)=α(2，0)+β(-1，

3

)
得

x=2α-β y= 3 β

?

2α-β+ 3 • 3 -6≥0 3 ≤ 3 β≤2 3 3 (2α-β)+ 3 β-4 3 ≤0

?

α+β≥3 1≤β≤2 α≤2

?3≤α+β≤4．
故答案为[3，4]．

点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，通过线性规划求出范围．