Question

已知正项数列{a_n}的前n和为S_n，且

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若bn=

an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）要证明数列{a_n}为等差数列，需证明a_n-a_n-1=d，由已知条件可得Sn=

1

4

•(an+1)  2， 利用an=Sn-Sn-1，(n≥2)
（2）由(1)可得an=2n-1，bn=

2n-1

2n

用错位相减求和

解答：解：（1）由题意可知，Sn=

1

4

• (an+1) 2
当n≥2，an=Sn-Sn-1=

(an+1)2

4

-

(an-1+1)2

4

整理可得（a_n-1）²=（a_n-1+1）²=（a_n-1+1）²
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2
n=1，由S1=

(a1+ 1) 2

4

解得a1=1
数列a_n以1为首项，以2为公差的等差数列
（2）由（1）可得a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴bn=

an

2n

=

2n-1

2n

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

①

1

2

T n=     

1

22

+ 

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2 1+n

②
①-②得 

1

2

Tn =

1

2

+2(

1

22

+ 

1

23

+…+ 

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

2n+3

2n

点评：本题重点考查利用递推公式an=

S1       n=1 Sn-Sn-1，n≥2

转化数列a_n+1与a_n的递推关系、等差数列的证明及错位相减求数列的和，求解的关键是要把握递推公式的转化．