Question

设双曲线以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为

±

1

2

．

Answer 1

分析：由椭圆的基本概念，算出双曲线的焦点坐标为（±5，0）且准线方程为x=

a2

c

=4，由此解出双曲线的实半轴与虚半轴，进而可得双曲线的渐近线的斜率．

解答：解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
椭圆

x2

25

+

y2

9

=1长轴端点坐标为（±5，0），
∴双曲线中，半焦距c=

a2+b2

=5，
又∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点（±4，0）在双曲线的准线上，
∴

a2

c

=4，可得a²=20，b²=c²-a²=5，
由此算出a=2

5

且b=

5

，得双曲线的渐近线的斜率k=±

b

a

=±

1

2

故答案为：±

1

2

．

点评：本题给出双曲线的准线经过椭圆的焦点，且焦距等于双曲线的实轴，求双曲线的渐近线．着重考查了椭圆与双曲线的标准方程、基本概念与简单几何性质等知识，属于基础题．