Question

定义在D上的函数f（x）满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）为闭函数，若f(x)=k+

x+2

是闭函数，则实数k的取值范围是

(-

9

4

，-2]

．

Answer 1

分析：由题意可得 f（a）=a，f（b）=b，由此推出a和b是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0 的两个根，故有△＞0，且对称轴x=

2k+1

2

＞-2，且f（-2）=k≥0，解此不等式组求得 k 的范围，即为所求．

解答：解：因为f(x)=k+

x+2

是闭函数，且定义域为[-2，+∞），且函数在定义域内是增函数，
∴

f(a)=a f(b)=b

，即

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

．
∴a²-（2k+1）a+k²-2=0，且 b²-（2k+1）b+k²-2=0．
故a和b是方程 x²-（2k+1）x+k²-2=0 的两个根，
∴

△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 对称轴 2k+1 2 ＞-2 f(-2)≥0

，
解得 k≥0，故k的取值范围是[0，+∞），
故答案为：[0，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程x²-（2k+1）x+k²-2=0 在[-2，+∞）上的两个根，是解题的难点．