题目内容

已知二次函数f（x）=ax2-4x+c+1（a∈R，c∈R）的值域是[1，+∞），则
1
a
+
9
c
取最小值时，a+c=
20
3
20
3
．
分析：由已知可得a＞0，通过函数的值域，列出a、c的关系式，然后利用基本不等式即可求解a+c即可．
解答：解：∵f（x）=ax2-4x+c+1的值域是[1，+∞），
∴a＞0且
4a(c+1)-16
4a
=1即ac=4
∴c＞0
∴
1
a
+
9
c
≥2
1
a
×
9
c
=3．
当且仅当
1
a
=
9
c
且ac=4时取等号，解得a=
2
3
，c=6．
∴a+c=
20
3
．
故答案为：
20
3
．
点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，基本不等式求解函数的最值等知识的综合应用．
练习册系列答案
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f(x)x-1
．
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