Question

已知函数f（x）=2x+alnx．
（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，求a的范围；
（2）求证：若a＜0，对于任意两个正数x₁、x₂总有：

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)
（3）若存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-

1

2

x²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲使f（x）在[1，+∞）上为增函数，只需f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，然后利用参变量分离法求出a的取值范围即可；
（2）将x₁，x₂代入函数f（x）的解析式整理，再由基本不等式可证得结论；
（3）存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-

1

2

x²成立即将a分离，使得a大于等于不等式另一侧函数在[1，e]上的最小值即可．

解答：解：（1）∵f（x）=2x+alnx，
∴f′（x）=2+

a

x

，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=2+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥（-2x）_max=-2，
∴实数a的取值范围为[2，+∞）；
（2）由题意可得

f(x1)+f(x2)

2

=

2x1+alnx1+2x2+alnx2

2

=（x₁+x₂）+

a

2

ln（x₁•x₂）=（x₁+x₂）+aln

x1x2

，
f(

x1+x2

2

)=（x₁+x₂）+aln

x1+x2

2

，
∵正数x₁、x₂总有

x1+x2

2

≥

x1x2

，
∴ln

x1+x2

2

≥ln

x1x2

，
∵a＜0，
∴aln

x1+x2

2

≤aln

x1x2

，则（x₁+x₂）+aln

x1x2

≥（x₁+x₂）+aln

x1+x2

2

，
即

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)；
（3）∵f（x）≤（a+3）x-

1

2

x²成立，
∴a（x-lnx）≥

1

2

x²-x成立，
∵x∈[1，e]，
∴x-lnx＞0，则a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，
令g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈[1，e]，
∴g′（x）=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
令h（x）=

1

2

x+1-lnx，则h′（x）=

x-2

2x

，
∴h（x）_min=h（2）=2-ln2＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在x∈[1，e]上为增函数，则g（x）_min=g（1）=-

1

2

，
∴a≥-

1

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及存在性问题和基本不等式的应用，同时考查了转化的思想和分析问题的能力和运算求解的能力．属于难题．