Question

【题目】已知函数 ．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当， 时，对任意，有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当， 时，函数在上单调递增；当， 时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）

【解析】试题分析：（1）求出导数对分类讨论，明确函数函数的单调性；（2）对任意，有成立，等价于． ，函数在上单调递减，在上单调递增， 为与中的较大者．

试题解析：

（1）函数的定义域为．

当时， ，所以．

当时， ，所以函数在上单调递增．

当时，令，解得，

当时， ，所以函数在上单调递减；

当时， ，所以函数在上单调递增．

综上所述，当， 时，函数在上单调递增；

当， 时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）因为对任意，有成立，所以．

当即时， ， ．

令，得；令，得．

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

为与中的较大者．

设 ，

则，

所以在上单调递增，故所以，

从而 ．

所以即．

设 ，则．

所以在上单调递增．

又，所以的解为．

因为，所以的取值范围为．