题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点．（1）证明平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．
分析：（1）由等腰三角形的性质，证出DE⊥PC．由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD，结合AD⊥CD证出AD⊥平面PCD，从而得到AD⊥DE，结合题意AD∥BC得BC⊥DE．由线面垂直的判定定理证出DE⊥平面PBC，从而证出平面BDE⊥平面PBC．
（2）连接AC交BD于点M，分别取CD、DM的中点F、N，连接EN、FN、EF．可证出FN⊥BD且EN⊥BD，得∠ENF为二面角E-BD-C的平面角，在Rt△EFN中算出FN、EN的长，利用三角函数的定义即可求出二面角E-BD-C的余弦值．
（2）连接AC交BD于点M，分别取CD、DM的中点F、N，连接EN、FN、EF．可证出FN⊥BD且EN⊥BD，得∠ENF为二面角E-BD-C的平面角，在Rt△EFN中算出FN、EN的长，利用三角函数的定义即可求出二面角E-BD-C的余弦值．
解答：解：（1）∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，∴PD⊥AD
又∵AD⊥CD，PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴AD⊥平面PCD，结合DE?平面PCD，得AD⊥DE．
由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
∵BC、PC是平面PBC内的相交直线，DE⊥PC
∴DE⊥平面PBC．
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PBC．
（2）连接AC，交BD于点M，分别取CD、DM的中点F、N，
连接EN、FN、EF，可得
∵EF为△PCD的中位线，∴EF∥PD
∵PD⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD
因此，EN在平面ABCD内的射影为FN
∵正方形ABCD中FN⊥BD，∴EN⊥BD
因此，∠ENF为二面角E-BD-C的平面角，
又∵EF=
，FN=
，
∴由勾股定理得EN=
=
，
在Rt△EFN中，cos∠ENF=
=
∴二面角E-BD-C的余弦值为
．
∵PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，∴PD⊥AD
又∵AD⊥CD，PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴AD⊥平面PCD，结合DE?平面PCD，得AD⊥DE．
由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
∵BC、PC是平面PBC内的相交直线，DE⊥PC
∴DE⊥平面PBC．
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PBC．
（2）连接AC，交BD于点M，分别取CD、DM的中点F、N，
连接EN、FN、EF，可得
∵EF为△PCD的中位线，∴EF∥PD
∵PD⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD
因此，EN在平面ABCD内的射影为FN
∵正方形ABCD中FN⊥BD，∴EN⊥BD
因此，∠ENF为二面角E-BD-C的平面角，
又∵EF=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
∴由勾股定理得EN=
| EF2+FN2 |
| ||
| 4 |
在Rt△EFN中，cos∠ENF=
| FN |
| EN |
| ||
| 3 |
∴二面角E-BD-C的余弦值为
| ||
| 3 |
点评：本题在特殊四棱锥中求证面面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质，二面角的定义及求法等知识，考查了空间想象能力．属于中档题．
练习册系列答案
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