Question

如图所示，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=a,AB=2a.

(1)求证：MN∥面ADD₁A₁；

(2)求二面角PA-E-D的余弦值.

Answer 1

（1）证明:如图，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系.

则A（a,0,0）,B(a,2a,0),C(0,2a,0),A₁(a,0,a),D₁(0,0,a).

因为E、P、M、N分别为BC、A₁D₁、AE、CD₁的中点,

所以E（,2a,0）,P(,0,a),M(a,a,0),N(0,a,).

=(-a,0,),取n=(0,1,0),显然n⊥平面ADD₁A₁.

因为·n=0,所以⊥n.

又MN平面ADD₁A₁，所以MN∥平面ADD₁A₁.

（2）解：过P作PH⊥AE,交AE于H，取AD的中点F，则F（,0,0）,设H（x,y,0）,则=（-x,-y,a）,=(-x,-y,0).

又=（-,2a,0）,

由·=0，及H在直线AE上可得解得

所以=（a,a）,=(a,0).

所以·=0，即⊥.

所以与所夹的角等于二面角P-AE-D的平面角,其余弦值为cos〈,〉=