题目内容

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在 $数学公式$ 处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为 $数学公式$
（ I）求f（x）的解析式；
（ II）求函数g（x）=f（-x）的单调递减区间．

解：（I）由题意，T=π，∴ $\text{[math]}$ ，∴ω=2
∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在 $\text{[math]}$ 处取得最大值2，
∴A=2，sin（2× $\text{[math]}$ +φ）=1，∴φ= $\text{[math]}$
∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）；
（II）函数g（x）=f（-x）=2sin（-2x+ $\text{[math]}$ ）；
令- $\text{[math]}$ ≤-2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴函数的单调递减区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）
分析：（I）先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在 $\text{[math]}$ 处取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；
（II）函数g（x）=f（-x）=2sin（-2x+ $\text{[math]}$ ），利用正弦函数的单调增区间，可得函数的单调递减区间．
点评：本题考查函数的解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键．

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（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得点（t，a_s）、（s，a_t）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a _n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

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