Question

已知函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-

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3

．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由函数是奇函数可求得b=0，然后求出函数f（x）的导函数，再由x=1时，f（x）取极小值-

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3

列关于a，c的方程组求解a，c的值；
（2）把a，b，c代入函数解析式，求出函数的导函数，分析可知在[-1，1]上不存在两个x的值，使得f′(x1)f′(x2)=-1．

解答：解：（1）由函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，可知函数f（x）为定义域上的奇函数，
所以b=0，则f（x）=ax³+3cx，f′（x）=3ax²+3c．
又当x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，
所以

3a+3c=0 a+3c=- 2 3

，解得a=

1

3

，c=-

1

3

．
所以a=

1

3

，b=0，c=-

1

3

；
（2）由（1）得f（x）=

1

3

x3-xf′（x）=x²-1
设x₁，x₂∈[-1，1]
若存在两点x₁，x₂，使得在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)f′(x2)=-1
即(x1x2)2-(x12+x22)+2=0．
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以(x1x2)2-(x12+x22)+2＞0．
所以不存在两点的切线互相垂直．

点评：本题考查了奇函数的对称性，考查了函数在某点处取得极值的条件，训练了函数在某点出的切线方程与在该点处导数的关系，考查了逆向思维方法，是中档题．